Krümmung ist eine der fundamentalsten Eigenschaften einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Sie ist lokal gegeben, beeinflusst aber auch die globale Stuktur der Mannigfaltigkeit. Der klassische Satz von Gauß-Bonnet besagt beispielsweise, dass das Vorzeichen der Krümmung einer kompakten 2-dimensionalen Fläche die Euler-Charakteristik und damit das Geschlecht festlegt.
Wir interessieren uns für Verallgemeinerungen dieser Frage auf höhere Dimensionen. Konkreter: Welche topologischen Eigenschaften legt das Vorzeichen der Skalarkrümmung fest? Die Rolle des Geschlechts spielt hier der Index des Dirac-Operators, welcher wegen des Atiyah-Singer Indexsatzes eine entsprechende topologische Rolle spielt. Über eine von Schrödinger und Lichnerowicz gefundene Formel wird dieser Index von der Skalarkrümmung beeinflusst.
Leider ist dieser meist schwer zu berechnen. Gromov ist es gelungen, eine Vielzahlt von geometrischen Konstruktionen anzugeben, welche effektive Berechnungen dieses Index und viele zusätzliche Einsichten ermöglichen. Diese und nahe verwandte Methoden dienen außerdem dazu, neben dieser sehr geometrische Fragestellung auch fundamentale topologische Probleme wie die Novikov-Vermutung anzugehen.
Im Vortrag soll ein Einblick von den Grundlagen dieser Theorie, über Gromovs fundamentale Beiträge bis zu den auch heute wirksamen Einflüssen auf die aktuelle Forschung gegeben werden.